Có bao nhiêu cách để viết số 2007 dưới dạng tổng của các số nguyên dương liên tiếp? Bạn hãy lệt kê các dãy số đó?

Giả sử số 2007 là tổng của k chữ số tự nhiên liên tiếp. Do đó, k là số tự nhiên

Gọi m là chữ số bắt đầu của chuỗi số trên.

Khi đó, ta có biểu thức sau:



Hay:



Suy ra:

latex k. (k + 2m – 1) = 2.2007 = 2 . 3. 3 . 223 $

Từ biểu thức trên ta nhận thấy k phải là ước số của 2.3.3.223

Vậy các giá trị k có thể có là: 2, 3, 6, 9, 18, 223, 446, 669, …

Tuy nhiên, giá trị của k không thể chia hết cho 223. Vì giả sử k = 223 thì suy ra không thể có k + 2m – 1 = 18.

Với k = 2:

Ta có: 2m + 1 = 2007 . Suy ra m = 1003.

Vậy: 2007 = 1003 + 1004.

Với k = 3:

Ta có: 2m + 2 = 1338 . Suy ra m = 668

Vậy: 2007 = 668 + 669 + 670

Với k = 6:

Ta có: 2m + 5 = 669 . Suy ra m =332

Vậy: 2007 = 332 + 333 + 334 + 335 + 336 + 337

Với k = 9:

Ta có: 2m + 8 = 446 . Suy ra m = 219

Vậy: 2007 = 219 + 220 + 221 + 222 + 223 + 224 + 225 + 226 + 227

Với k = 18:

Ta có: 2m + 17 = 223 . Suy ra m =103

Vậy: 2007 = 103 + 104 + 105 + … + 120

Như vậy, ta có 5 cách viết số 2007 thành tổng của các số tự nhiên liên tiếp. Nếu tính luôn 2007 là tổng của 1 số tự nhiên liên tiếp thì ta có 6 cách.

Nếu chúng ta thay dữ kiện tổng của các số tự nhiên liên tiếp thành tổng của các số nguyên liên tiếp thì kết quả của bài toán này sẽ có khá nhiều. Bạn tử tìm xem nhé.